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2019-2020人教A版理科数学课时试题及解析(71)不等式的证明与柯西、排序不等式

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课时作业(七十一) [第 71 讲 不等式的证明与柯西、排序不等式]
[时间:35 分钟 分值:80 分] 基础热身 1.设 a=(m2+1)(n2+4),b=(mn+2)2,则 a________b. 2.设 a、b∈R+,且 a≠b,P=ab2+ba2,Q=a+b,则 P________Q. 3.若 a,b,c≥0,a2+b2+c2=3,则 ab+bc+ca 的最大值是________. 4.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x、y、z 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. 能力提升 5.若 a+b+c=0,则 ab+bc+ca________. 6.已知 a,b,x,y∈R,a2+b2=4,ax+by=6,则 x2+y2 的最小值为________. 7.设 x1,x2,x3,x4,x5 是 1,2,3,4,5 的任一排列,则 x1+2x2+3x3+4x4+5x5 的最小值 是________. 8.设 a>b>c,n∈N,且a-1 b+b-1 c≥a-n c恒成立,则 n 的最大值是________. 9.已知 a,b,c∈R,且 a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4,则 a 的取值范围是________. 10.不等式n+1 1+n+1 2+…+3n1+1>1,当 n=k+1 时,左边的项数是________. 11.设 x,y∈R+,且 xy-(x+y)=1,则 x+y 的最小值为________. 12.(13 分)△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:(a2+b2+c2)sin12A+ sin12B+sin12C≥36R2.
难点突破 13.(12 分) 已知数列{xn}中,x1=1,xn+1=1+p+xnxn(n∈N*,p 是正常数). (1)当 p=2 时,用数学归纳法证明 xn< 2(n∈N*); (2)是否存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn.
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课时作业(七十一) 【基础热身】 1.≥ [解析] 因为(m2+1)(n2+4)-(mn+2)2=(2m-n)2≥0,所以 a≥b. 2.> [解析] P-Q=ab2+ba2-a-b=a2-b b2+b2-a a2 =?a+b?a?ba-b?2,因为 a、b∈R+,且 a≠b,所以 P-Q>0. 3.3 [解析] 由排序不等式知 a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以 ab+bc+ca≤3,即 ab+ bc+ca 的最大值为 3. 4.a≥4 或 a≤-2 [解析] 因为(x+2y+2z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+22), 所以 x+2y+2z≤ ?x2+y2+z2??12+22+22?=3, 因为不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x、y、z 恒成立, 所以|a-1|≥3,解得 a≥4 或 a≤-2. 【能力提升】 5.≤0 [解析] ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,展开,得 ab+bc+ca=-a2+b22+c2. ∴ab+bc+ca≤0. 6.9 [解析] 由柯西不等式得(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,所以 x2+y2≥?aax2++bby2?2=642=9. 7.35 [解析] 反序和是最小值,即最小值为 1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35. 8.4 [解析] ∵aa--bc+ab- -cc=a-ab-+bb-c+a-bb-+bc-c=2+ab--bc+ab--bc≥4,∴a-1 b+
b-1 c≥a-4 c,而a-1 b+b-1 c≥a-n c恒成立,得 n≤4. 9.121≤a≤2 [解析] 由已知得 b+c=2-a,2b2+3c2=4-a2,联想到柯西不等式得(2b2
+3c2)??12+13??≥(b+c)2,
∴(4-a2)×56≥(2-a)2,∴11a2-24a+4≤0,因此121≤a≤2. 10.2k+3 [解析] 当 n=k+1 时,不等式变为k+11+1+k+11+2+…+3?k+11?+1>1, 即k+11+1+k+11+2+…+k+1+1?2k+3?>1,所以左边有 2k+3 项.
11.2+2 2 [解析] 因为 xy≤??x+2 y??2,所以?x+4y?2-(x+y)≥1,令 t=x+y,则有 t2
-4t-4≥0,解得 t≥2+2 2或 t≤2-2 2,因为 x,y∈R+,所以 t≥2+2 2. 12.[解答] 证明:由三角形中的正弦定理得 sinA=2aR,所以sin12A=4aR22, 同理sin12B=4bR22,sin12C=4cR22,
于是不等式左边=(a2+b2+c2)??4aR22+4bR22+4cR22?? ≥??a·2aR+b·2bR+c·2cR??2=36R2.
所以原不等式成立. 【难点突破】 13.[解答] 由 x1=1,xn+1=1+p+xnxn,p>0 知,xn>0(n∈N*).
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(1)证明:当 p=2 时,xn+1=1+2+xnxn,

①当 n=1 时,x1=1< 2,命题成立.

②假设当 n=k 时,xk< 2,

则当 n=k+1 时,xk+1=1+2+xkxk=2-2+2 xk<2-2+2

= 2

2,

即 n=k+1 时,命题成立.

根据①②知,xn< 2(n∈N*). (2)用数学归纳法证明,xn+1>xn(n∈N*).

①当 n=1 时,x2=1+p+x1x1>1=x1,命题成立.

②假设当 n=k 时,xk+1>xk, 因为 xk>0,p>0,

所以p+pxk+1<p+p xk,

则当 n=k+1 时,xk+1=1+p+xkxk=2-p+p xk<2-p+pxk+1=xk+2,即 n=k+1 时,命题成

立.

根据①②知,xn+1>xn(n∈N*). 所以综上证明可知{xn}是递增数列, 故不存在正整数 M,使得对于任意正整数 n,都有 xM≥xn.

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